スター・ツアーズは何回乗ればコンプできるのか計算してみた

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 やはり間違っていたようなので改訂しました (2014年4月23日)。初稿の誤りを指摘していただいた早瀬さんどうもありがとう。

 東京ディズニーランドの『スター・ツアーズ:ザ・アドベンチャーズ・コンティニュー』ですが、ストーリーが4つのパートから構成されています。それぞれのパートは、

  • パート1:2通りのシーン
  • パート2:3通りのシーン
  • パート3:3通りのシーン
  • パート4:3通りのシーン

が用意されており、それぞれのパートではシーンがランダムに選択されていき、\(2\times 3\times 3\times 3 = 54\)通りの展開があるようです。そうすると気になるのは、「はたして何回乗れば全シーンをコンプリートできるのか?」という点です。本稿では、それを計算してみます。

 まず、\(n\)回乗るまでに2つのシーンから構成されるパート1でコンプできる確率を求めます (ただし\(n \ge 2\)とします)。不幸なことに2回目以降に連続して\(n-1\)回も1回目に見たシーンを何度も見てしまうかわいそうな人がいます。ですので、その人以外の人は2つのシーンを見られますので、\(n\)回目までにシーン1をコンプできる確率は、
\[
1 – \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}
\]
となります。

 次に、\(n\)回乗るまでに3つのシーンから構成されるパート2でコンプできる確率を求めます (ただし\(n \ge 3\)とします)。パート2では、スーパーウルトラ不幸なことに、2回目以降に連続して\(n-1\)回も1回目に見たシーンを何度も見てしまうかわいそうな人がいます。さらに、3つのうちの2つのシーンを繰り返し見てしまう人がいて、その分を引きます。ですので、\(n\)回目までにシーン2をコンプできる確率は、
\[
1 – \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} – \left(\frac{2^n-2}{3^{n-1}}\right)
\]
となります。

 ですので、トータルで、スター・ツアーズを\(n\)回乗るまでに、それぞれのパートでかぶりなくシーンを見られる確率は、
\[
\left(1 – \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right)
\left(1 – \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} – \left(\frac{2^n-2}{3^{n-1}}\right)\right)^3
\]
となります。グラフにするとこんな感じです。

star-tours

 ということで、0.8%の人は3回乗ってコンプできます。ラッキーですね。アンラッキーな人だと、1%の人は17回乗ってもコンプできません

 で、スター・ツアーズをコンプするためには平均7.7回乗ればよいようです

References: Dominick Tota, The Probability of Star Tours (Accessed on Apr 21, 2014).